Función exponencial
OBJETIVOS
1- Impulsar el uso
de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
2- Promover el
trabajo colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización
en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos.
3- Incitar la
búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes,
la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización y la
interpretación.
4- Analizar
situaciones y resolver problemas para reconocer y comprender la aplicación de
la función exponencial en el mundo real.
5- Interpretar la
realidad a través de la matemática.
Introducción a las actividades
Mediante estas actividades los alumnos podrán observar
la aplicación de la función exponencial en la vida real por medio de problemas
de aplicación. También se realizarán por medio del programa GeoGebra diferentes
gráficos de la función para identificar su dominio e interpretar su crecimiento
o decrecimiento.
En fenómenos como la evolución de población, la desintegración
radiactiva y la reproducción de bacterias se encuentran magnitudes que varían
con un ritmo muy acelerado, produciendo rápidos aumentos o decrecimientos, como
por ejemplo el crecimiento de una población debido a diferentes factores o el
crecimiento acelerado de una bacteria estudiada en un laboratorio, etc. Todos
estos son hechos acordes a un modelo expresado por la función exponencial.
1) Den otros ejemplos de aplicaciones de función
exponencial en la vida real.
Actividad 2
Un laboratorio químico-farmacéutico está
desarrollando un nuevo medicamento. Al realizar sus experiencias han
determinado que las bacterias que emplean se reproducen por bipartición[1] cada
hora. Considerando que en cierto momento se cuentan 64 ejemplares. Respondan
las siguientes cuestiones:
a) Realiza un
diagrama orientativo de la situación planteada.
b)
¿Cuántas bacterias había seis horas antes de
los 64 ejemplares? ¿Cuántas habrá cinco horas después?
c) ¿Cuántas se
sumarán en la primera hora siguiente, a partir de los 64 ejemplares?
d) ¿Cuántas
variables se han puesto en juego en esta problemática? ¿Cuáles son? ¿Cuál sería la variable dependiente, y
la independiente? ¿Con qué letras podrías identificarlas?
e) ¿Sería práctico encontrar un modo rápido de llegar
a calcular cualquier número de bacterias sin tener que calcular el anterior? ¿Habrá
un modo de calcular directamente la cantidad de bacterias según el tiempo
transcurrido y no en función del tiempo anterior?
f)
Teniendo en cuenta lo respondido en los puntos d y
e encuentren una expresión que permita calcular, sabiendo el
tiempo medido en horas, qué cantidad de ejemplares
(bacterias) se tendrán. Verifica si con la expresión obtenida llegan a los
mismos resultados que los obtenidos en b y c.
g)
¿Cuánto tiempo tiene que
transcurrir para que haya 16.384 ejemplares? Expresar el resultado en min y en
horas.
h)
Representen
gráficamente con el programa GeoGebra la expresión hallada en el ítem e.
Actividad 3
Utilizando el
programa GeoGebra, grafiquen las siguientes funciones dadas a continuación.
Encuentren el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento y
decrecimiento y los ceros de cada función:
Actividad de cierre
Una persona
deposita en un banco $1000 en un plazo fijo que paga el 4 % de interés mensual.
a. Al terminar el
mes, ¿cuánto ganó de intereses? Si retira el monto, es decir, el dinero
depositado inicialmente más los intereses ganados, ¿cuánto dinero retira?
b. Si resuelve
depositar por un mes más el dinero y los intereses ganados, ¿cuál será el monto
obtenido al cabo del segundo mes?
c. Expliquen cómo
obtuvieron el monto correspondiente a cada mes. Si tuvieran que sacar el monto
a los 2 años, ¿será práctico sacarlos mes a mes?
d. ¿Qué relación hay entre los montos a medida que
transcurre el tiempo? Verifiquen para n=3. Si a fin de cada mes deposita el
total acumulado, ¿cuál será el monto si retira el dinero a los n meses? (Ayuda:
Indiquen como quedaría la generalización de la fórmula anterior para los “n”
meses. Intenten encontrar una fórmula en
la cual sólo haya que reemplazar n para tener el monto acumulado). ¿Cómo
verificarían si los puntos a y b están bien calculados? Representa en el
GeoGebra.
e. Otra persona
deposita, en ese mismo banco, $2000. Analicen cómo se modifica la respuesta a
cada una de las preguntas anteriores en ese caso.
f. Si la primera
persona depositara el dinero en una cuenta que le ofrece un 24% anual, ¿cómo se
modificaría la respuesta a cada una de las cuatro primeras preguntas?
g. Discutan con
algunos de sus compañeros las respuestas a las preguntas anteriores.
h. A la entrada del
banco, a la segunda persona le dieron un folleto en el que decía que otra
entidad daba el 25% anual a los ahorristas que dejaran el dinero por un año.
Esta nueva opción, ¿le conviene más o no? Expliquen por qué.
Para reflexionar
• ¿Hay
proporcionalidad entre alguno de estos pares de variables (dejando en cada caso
fijas todas las demás no mencionadas: capital inicial y monto; monto e interés
mensual; interés obtenido en un mes y porcentaje (o tasa) de interés mensual;
monto y tiempo?
Enlaces de interés y utilidad para el trabajo
[1]
División de una cosa en dos partes. En esta situación problemática cuando la
bacteria alcanza un cierto grado de madurez se divide y da lugar a otras dos
bacterias jóvenes, y así continúa el proceso.
a)
b)
c)
d)
e)
d)
e)
